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i的3次方根复变函数

(√3+i)^(-3)=1/(√3+i)^3=1/(√3+i)^2(√3+i)=1/(2+2√3i)(√3+i)=1/2(1+√3i)(√3+i)=1/2(√3+i+3i-√3)=1/2(4i)=1/8i=i/(-8)=-i/8.

解析:i-√3=2[-√3/2+i(1/2)]=2[cos(2π/3)+i(2π/3)]

3^i=(e^ln3)^i=e^(iln3)=cos(ln3)+isin(ln3)

解是解方程:x^3=1=cos0+isin0其解为:x=cos(2kπ)/3+isin(2kπ/3), k=0, 1,2即:k=0, x1=1k=1, x2=cos(2π/3)+isin(2π/3)=-1/2+i√3/2k=2, x3=cos(4π/3)+isin(4π/3)=-1/2-i√3/2也可这样来分解:x^3-1=0(x-1)(x^2+x+1)=0x=1, (-1+i√3)/2, (-1-i√3)/2

因为(1+√3i)/2=cos60+sin60=e^(π/3)=e^(π/3+2kπ),那么它的五次方就等于e^(5π/3+10kπ),将k令为0,则e^(5π/3)=cos(5π/3)+isin(5π/3)=1/2-i√3/2,那么实部虚部都出来了,模的话就等于1,又复角的大小是-π到π之间,5π/3明显在外面,所以,5π/3-2π=-π/3,辐角主值就是e^(-π/3)

换成指数表示,就好算了 原式=(√2e^(iπ/4))^(-3)=2^(-3/2) e^(-i3π/4)=2^(-3/2) (cos(-3π/4)+isin(-3π/4))=2^(-3/2) (-1/√2+i/√2)=2^(-2)(-1+i)=(i-1)/4

1+i=根号2乘以e的i(派/4+2k派)其中k是整数.这里用的是复数的指数形式.为什么加上2k派呢.因为我们知道角度概念扩展.在轴上表示同一个位置的角是相差2k派.主值的话是满足角度在-派到派之间,其中派可取,-派不可取.那么这里的话很明显就是角度是派/4,ln(1+i)=ln根号2+派/4=0.5ln2+派/4

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